插空法在排列组合中的应用

Tag: 2022年河南公务员公务员考试河南省考 2021-08-11 来源：河南公务员考试字号： T | T | T

　　排列组合问题属于数学运算中必考的重难点，在近几年的国考、联考以及单独命题省考中每年均会考查。由于高中阶段我们学习的排列组合难度比较高，所以很多考生以为行测考试中排列组合的难度也是非常高的，实际上并非如此。只要掌握了公式、概念以及常见的方法，大多数题目都可以快速解答。

　　今天河南公务员考试网与大家一起来详细了解一下排列组合题型中常用到的插空法。插空法是公考排列组合题型中常用的重要方法之一，通过练习熟练掌握对应技巧后，能有效提高做题正确率，下面我们通过几道真题来详细了解一下如何运用插空法解题。

　　插空法解题

　　题型特征：题目中出现“间隔”“不相邻”“不连续”等限制条件

　　解题方法：

　　1.先排：先安排可以相邻的元素，形成若干个空位。

　　2.再插：将不相邻的元素插入到空位中。

　　例1.【2015国考】把12棵同样的松树和6棵同样的柏树种植在道路两侧，每侧种植9棵，要求每侧的柏树数量相等且不相邻，且道路起点和终点处两侧种植的都必须是松树。问有多少种不同的种植方法：

　　A. 36

　　B. 50

　　C. 100

　　D. 400

　　【解题思路】由题意，公路两边各6棵松树和3棵柏树，道路起点和终点处两侧种植的都必须是松树，那么中间有5个空，由于柏树要求互不相邻，故从5个空中选出3个空栽种柏树即可。故每一边的种植方式，故总共不同的种植方式为10×10=100种，正确答案为C。

　　【点评】因为树是相同的，因此不需要考虑顺序用C列式，如果题干给出的主体需要考虑顺序，则应用A列式。如果无法明确分辨，建议可从中选出两个元素调换位置，如果对结果没影响，用组合C;调换位置后变为新的情况，则与顺序有关用A。

　　例2.【2015黑龙江】小区内空着一排相邻的8个车位，现有4辆车随机停进车位，恰好没有连续空位的停车方式共有多少种?

　　A. 48

　　B. 120

　　C. 360

　　D. 1440

　　【解题思路】题目要求求出“恰好没有连续空位的停车方式有多少种”，即排列组合中“不相邻问题”，可使用插空法求解。四辆车停进四个不同的车位，共有

种方式。然后在四辆车空出的5个空当中选出4个，即可满足“没有连续空位的停车方式”，共

种方式。则满足条件的停车方式一共有：24×5=120种，正确答案为B。

　　【点评】此类题目中，原有的一类元素里，部分元素的状态发生了改变，因此可将两种状态分别看作两类元素进行解题。

　　例3. 【2017江苏】两公司为召开联欢晚会，分别编排了3个和2个节目，要求同一公司的节目不能连续出场，则安排节目出场顺序的方案共有：

　　A. 12种

　　B. 18种

　　C. 24种

　　D. 30种

　　【解题思路】题目要求同一公司节目不能连续出场，则同一公司节目之间必然插入另一个公司节目，第一个公司3个节目之间刚好有2个空隙插入第二个公司的2个节目。先排第一个公司，3个节目出场顺序有

种情况;再将第二个公司的节目排入空隙，出场顺序有A_2^2种情况;所以节目出场顺序共有方案数为

，总共12种情况，正确答案为A。

　　【点评】此类题目中，两类元素都不相邻，先排其中一个元素，再用另一类元素插空，中间的空必须先占满。

　　例4.【2018四川下】某场学术论坛有6家企业作报告，其中A企业和B企业要求在相邻的时间内作报告，C企业作报告的时间必须在D企业之后、在E企业之前，F企业要求不能第一个，也不能最后一个作报告。如满足所有企业的要求，则报告的先后次序共有多少种不同的安排方式?

　　A. 12

　　B. 24

　　C. 72

　　D. 144

　　【解题思路】根据题意，按照先后次序，D、C、E三者相对顺序仅此1种;A、B要求相邻，利用捆绑法有

种，再插入D、C、E形成的空中，有

种方法;F不是第一个，也不是最后一个，只能插入AB、D、C、E之间的3个空中，有

种方法;分步用乘法，因此不同安排方式共1×2×4×3=24种，正确答案为B。

　　【点评】本题是捆绑法和插空法结合。出现“相邻”用捆绑法，先将需要相邻的AB捆绑，再进行后续的插空，最后分步用乘法得出总情况数即可。

　　排列组合题目虽有一定难度，但掌握了技巧也能快速解题。有舍有得，前提是有得到的能力，切勿将锦上添花的部分全盘放弃。

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